在数学的世界里，猜想犹如神秘的宝藏，吸引着无数智者为之探索。40 多年来，数学界普遍相信 Mizohata-Takeuchi 猜想是正确的，尽管它从未得到证明。这个诞生于上世纪 80 年代的猜想，是连接调和分析、偏微分方程和几何分析的核心桥梁。其核心观点是，只要每条直线方向的权重积累都不太大，傅里叶传播就不会非常集中。一直以来，它被视为通向解决傅里叶限制猜想的希望之一，倘若它被推翻，那么几十年来关于傅里叶限制、PDE 良性等核心问题的思考，都不得不重新更改思路，例如 Stein 猜想也将随之不成立。

但如今，一位年仅 17 岁的少女扔下了一枚 “重磅炸弹”，成功推翻了这一存在 40 年之久的数学猜想。她就是汉娜・凯罗（Hannah Cairo）。而这一切，最初竟源于一份家庭作业。

完成作业时发现 “反例”

汉娜・凯罗出生在巴哈马群岛，自幼便对数学展现出浓厚兴趣，用她自己的话来说，“打记事起就对数学很感兴趣” 。正式深入高等数学领域，是在她搬到美国之后。身为高中生的她参加了 UC 伯克利的数学夏令营，期间，她主动给教授们写信，介绍自己读过的数学领域书籍，并询问能否旁听课程。许多教授被她的热情与好学打动，纷纷答应，这其中就包括张瑞祥教授。

张瑞祥，本科毕业于北大数院，在大神云集的北大数院，他也是当之无愧的 “拿奖王”，斩获众多荣誉，包括北京大学五四奖章、国家奖学金、廖凯原奖学金、三好学生等，同时在数学竞赛中表现卓越，如第三届全国大学生数学竞赛（数学类）全国一等奖，第二届丘成桐大学生团体金奖，以及个人代数银奖、几何银奖、分析银奖，个人全能金奖等。2017 年，他获得普林斯顿大学博士学位，之后在普林斯顿高等研究院（IAS）和威斯康星大学麦迪逊分校开展博士后研究，2021 年正式加入加州大学伯克利分校数学系，成为助理教授，在现代调和分析、偏微分方程、组合几何领域颇有建树，2023 年更是荣获有 “菲尔兹风向标” 之称的 SASTRA 拉马努金奖。

一次，张瑞祥教授给学生们布置家庭作业，让他们从几个猜想中选一个进行论证，其中就包括 Mizohata-Takeuchi 猜想的更简单形式，而原始猜想则作为选做题给出。汉娜选择挑战这一猜想，在深入研究过程中，她渐渐发现，或许可以通过构造反例来推翻这个被学界普遍认可的猜想。

为了构建反例，汉娜运用了多种数学工具，如分形理论等。每一步推理她都精心设计，步步为营。经过多次失败的尝试，她终于成功找到了 Mizohata-Takeuchi 猜想的反例。

但当她兴奋地将自己的发现告知导师张瑞祥时，却没有立刻得到认可。毕竟，一个存在了 40 年且被学界广泛接受的猜想，怎么可能轻易被一个 17 岁的高中生推翻呢？汉娜花了很长一段时间，通过严谨的论证和详细的解释，才成功说服导师，自己提出的反例是正确的。

究竟什么是 Mizohata-Takeuchi 猜想？

Mizohata-Takeuchi 猜想主要出现在傅里叶分析和偏微分方程（PDE）领域，其根源可追溯到上世纪 70 – 80 年代对偏微分方程解的良定性问题的研究，尤其是对一阶扰动的薛定谔方程的行为分析。在这个过程中，人们发现某些与傅里叶变换相关的加权 L2 不等式，和解的存在性与唯一性紧密相连。

简单来说，傅里叶分析是一种极为重要的数学工具，其核心思想是把复杂的函数分解成一组正弦波或余弦波的组合，能够将看似复杂的对象，如信号、图像、函数等，转变为频率的叠加，在信号处理、音频分析、金融等众多领域广泛应用。

若用一个生活中的例子来类比 Mizohata-Takeuchi 猜想：假设你在一个房间里说话，声音从嘴巴发出后向各个方向传播。此时，数学家们关心的是，如果你在某些方向上挂了吸音板（这就相当于给这些方向加上了一个 “权重”），那么能否通过 “这些方向上的吸音效果”，来估计你说话的总音量？这里的 “总音量” 用傅里叶延拓算子（extension operator）表示，“方向上的吸音效果” 则是 X – ray transform，也就是沿每条直线把权重 w (x) 加起来。该猜想认为，如果知道 w (x) 沿所有直线方向的积分都不大，那么这个傅里叶扩展 Ef (x) 在整个空间的加权 L2 也不会太大。

其具体形式为：对于任意 C2 的曲面，设扩展算子为某种形式，猜想认为存在如下加权不等式成立，其中 E (f) 是 f 的傅里叶延拓算子，Xw 是 w 的 X – Ray transform。

而汉娜提出的反例表明：对于任意不在某个平面上的 C2 曲面 Σ，可以构造一个非负权重函数，使得对于某些特定的 f 和 w，积分的下界比猜想中的上界多了一个 log R 的因子，这就意味着 Mizohata–Takeuchi 猜想整体不成立。

在论文中，汉娜首先证明了关于正测度的 X – Ray transform 变换的 Lp 估计，对于满足一定条件的函数 h，证明了特定的式子成立，其中 p∈[1,∞] 且满足相应条件。她利用 projection – slice 定理，将 X – Ray transform 与傅里叶变换联系起来，再通过 Minkowski 不等式和 Hausdorff – Young 不等式，推导出上述估计。当 p = ∞时，还证明了估计的最优性。

接着构建反例，她通过选择超曲面 Σ 上的一组 R – 1 点，其中 N ~ log R，并构造一个特殊的格点集 Q，使得这些点的平移和组合能够产生足够多的重叠，从而导致积分下界显著增加。之后又构建了一个几何引理，证明存在一组点，使得这组点的投影在任何方向上都不会有过多重叠，这个引理确保了反例构造的有效性。此外，论文还提出了一种局部版本 Mizohata–Takeuchi 猜想，即引入 Rε 的微弱损失是否仍可能使不等式成立。

17 岁天才少女即将开启博士生涯

如今，这位天才少女汉娜・凯罗已经在国际学术会议上登台演讲。在今年 6 月 9 日至 13 日于西班牙举行的第 12 届国际调和分析和偏微分方程大会（被称为 El Escorial 会议，在该领域极负盛名）上，她发表了预定演讲之一。令人惊讶的是，面对众多专业学者，她没有丝毫紧张，反而乐在其中。这或许得益于她日常就经常给别人讲解问题，即便是比自己大的学生，她也毫不吝啬分享自己的知识。

汉娜即将赴马里兰大学攻读博士学位，并且她还希望在未来组建自己的团队。而她的导师，将继续由张瑞祥教授担任。

回顾整个历程，汉娜・凯罗的成功绝非偶然。她对数学纯粹的热爱，驱使她主动探索高等数学知识；在面对难题时，她展现出的坚持不懈和独特的逆向思维，让她能够另辟蹊径找到反例；而在说服导师的过程中，她所表现出的严谨论证能力，更是体现了她扎实的数学基础。相信在未来的数学研究道路上，汉娜将继续绽放光彩，为数学领域带来更多令人惊喜的成果。